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| | | | | Beschreibung | | Markov-Methoden eignen sich gut, um Komponenten mit mehreren Zuständen zu untersuchen, beispielsweise mit Zuständen, die die Nominalfunktion, leichte Fehlfunktionen und kritische Fehlfunktionen beschreiben.
Abbildung 1: Markov-Modell eines Systems mit drei Zuständen
Ein Beispielsystem mit den drei möglichen Zuständen 0, 1 und 2 ist in Abbildung 1 dargestellt. Im Markov-Modell wird jeder Zustandsübergang durch eine Übergangswahrscheinlichkeit charakterisiert. Dies sind im Beispiel die Fehlerwahrscheinlichkeiten λ2-1, λ1-0 und die Reparaturwahrscheinlichkeiten μ2-1, μ1-0. Unter der Annahme der Definitionen
- Pri(t) = Wahrscheinlichkeit, dass sich das System zur Zeit t in Zustand i befindet und
- ρij(t) = Übergangswahrscheinlichkeit (entweder λ oder μ für den Übergang von Zustand i nach Zustand j
sowie unter der Annahme, dass Pri(t) differenzierbar ist, kann man zeigen, dass folgende Gleichung gilt:
Wenn nun für jeden Zustand eine Differentialgleichung aufgestellt wird und die entsprechende Menge von Differentialgleichungen gelöst wird, erhält man die zeitabhängige Wahrscheinlichkeit des Systems dafür, dass es sich in einem bestimmten Zustand befindet. Markov-Ketten sind vorwiegend eine quantitative Methode, obwohl die Zustände und Transitionsdiagramme auch qualitative Informationen über das Verhalten des Systems enthalten.
- Ein Zustand innerhalb einer Markov-Kette enthält alle Informationen des System über Komponentenfehler, Abfolge von Komponentenfehlern sowie über freie Belegungen.
- Komponentenfehler führen rekursiv von existierenden Zuständen zu neuen Zuständen.
- Gefahrenwahrscheinlichkeiten der fehlerhaften Komponenten bestimmen die Transitionen von einem Zustand zum nächsten.
- Markov-Ketten werden auf eine Menge äquivalenter gewöhnlicher Differentialgleichungen abgebildet, wobei die Variablen Zustandswahrscheinlichkeiten entsprechen.
- Die Wahrscheinlichkeit, in einem fehlerbehafteten Zustand zu sein, ist ein Maß für die Unzuverlässigkeit des Systems.
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